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Punkt An Ebene Spiegeln Beispiel Essay

Man kann alles Mögliche spiegeln. Alles wird jedoch auf die drei Basisfälle zurückgeführt: Punkt an Punkt spiegeln, Punkt an Gerade spiegeln und Punkt an Ebene spiegeln und diese wiederum führt man auf Spiegeln Punkt an Punkt zurück. Spiegeln ist nicht so schwer.

 

Es gibt eigentlich nur drei grundlegende Rechnungen zum Thema Spiegeln:
1. Spiegelung eines Punktes an einem anderen Punkt.
2. Spiegelung eines Punktes an einer Gerade
3. Spiegelung eines Punktes an einer Ebene.
Die letzten beiden Möglichkeiten führt man auf die erste zurück.
Alle weiteren Spiegelungen [Spiegelung Gerade an irgendwas bzw. Spiegelung Ebene an irgendwas] führt man auf diese drei genannten Grundlagen zurück.

 

V.04.01 | senkrechte Spiegelung

Unter einer senkrechten Spiegelung versteht man die Spiegelung an einer Koordinatenebene oder an einer Koordinatenachse oder am Ursprung.

Im Prinzip ändern sich bei diesen Spiegelungen nur die Vorzeichen der Koordinaten. Die Frage ist nur: von welchen Koordinaten?

Bei Spiegelung an der x1-Achse ändert man x2- und x3-Koordinaten,

bei Spiegelung an der x2-Achse ändert man x1- und x3-Koordinaten,

bei Spiegelung an der x3-Achse ändert man x1- und x2-Koordinaten.

Bei Spiegelung an der x1x2-Ebene ändert man die x3-Koordinaten,

bei Spiegelung an der x1x3-Ebene ändert man die x2-Koordinaten,

bei Spiegelung an der x2x3-Ebene ändert man die x1-Koordinaten.

Bei Spiegelung am Ursprung ändert man alle Koordinaten.

 

Beispiel a.

Spiegeln Sie P(2|3|-2),   und E : 4x1+7x2–3x3=8 an der x1-Achse.

Lösung:

Wir ändern einfach das Vorzeichen der x2- und der x3-Koordinate.

⇒ Pneu(2|-3|2)    ⇒     ⇒ E : 4x1–7x2+3x3=8

 

Beispiel b.

Spiegeln Sie A(-1|2|5),   und F : x1+3x2–3x3=-8 an der x1x2-Ebene.

Lösung:

Wir ändern das Vorzeichen der x3-Koordinate.

⇒ Aneu(-1|2|-5)      ⇒      ⇒ Fneu : x1+3x2+3x3=-8

 

Beispiel c.

Spiegeln Sie D(0|8|15),   und E : 2x1+6x2–3x3=1 am Ursprung.

Lösung:

Wir ändern alle Vorzeichen.

⇒ Dneu(0|-8|-15)     ⇒       ⇒ Eneu : -2x1–6x2+3x3=1

 

 

 

 

 

V.04.02 | Punkt an Punkt spiegeln

Jede Spiegelung wird letztendlich auf Spiegelung von Punkt an Punkt zurückgeführt.
Daher ist dieses Kapitel natürlich sehr wichtig.
Es gibt auch mehrere Vorgehensmöglichkeiten, daher gibt es Beispiel a. in zwei Varianten.

Beispiel d.

Spiegeln Sie den Punkt P(2|3|-2) an dem Punkt S(-1|0|2)!

erste Lösung des komplexen Problems:

Annahme der gesuchte, zu spiegelnde Punkt heißt P*, dann ist S der Mittelpunkt von P und P*.

 

 

Beispiel e.

Spiegeln Sie den Punkt P(2|3|-2) an dem Punkt S(-1|0|2)!

zweite Lösung des komplexen Problems:

Stellen Sie sich vor, Sie würden sich im Punkt P befinden. Wenn Sie sich nun um den Vektor  vorwärts bewegen, landen Sie im Punkt S. Würden Sie sich vom Punkt P jedoch zwei Mal in Richtung des Vektors PS vorwärts bewegen, würden Sie im Punkt P* landen. Man kann P* also über die Formel berechnen:

P* = P + 2 

Natürlich ist das eine [mathematisch gesehen] höchst blöde Schreibweise.

⇒ P*(-4 |-3 | 6 )

 

 

 

 

 

V.04.03 | Punkt an Gerade spiegeln

- Man bestimmt den Lotfußpunkt vom Punkt auf die Gerade

[Auf welche Art und Weise man den Lotfußpunkt bestimmt, spielt natürlich keine Rolle. Man kann die Methode über die Lotebene wählen oder über den laufenden Punkt.]

- Nun spiegelt man den Punkt am Lotfußpunkt.

 

Beispiel f.

Spiegeln Sie den Punkt K(2|9|8) an der Geraden 

Lösung:

Wir bestimmen zuerst den Lotfußpunkt [z.B über die Lotebene].

Der Normalenvektor von ELot ist der Richtungsvektor von g.

Daher wissen wir : ELot : -2x1 + 3x2 + 2x3 = d

Um die rechte Seite zu erhalten, setzen wir K in ELot ein.

-2·2 + 3·9 + 2·8 = d ⇒ d=39

⇒ ELot : -2x1 + 3x2 +2x3 = 39

 

g mit ELot schneiden:

-2·(2–2t) + 3·(1+3t) + 2·(3+2t) = 39

-4+4t + 3+9t + 6+4t = 39 ⇒ t = 2

 

Damit hat der Lotfußpunkt L die Koordinaten: 

Nun können wir den Spiegelpunkt K* berechnen:

 

 

 

V.04.04 | Punkt an Ebene spiegeln

- Man bestimmt den Lotfußpunkt vom Punkt auf die Ebene [mittels Lotgerade]

- Nun spiegelt man den Punkt am Lotfußpunkt.

 

Beispiel g.

Spiegeln Sie den Punkt A( 10 | -8 | 9 ) an der Ebene E : 4x1–x2+3x3 = 23

Die Lööösuunnnggg:

Wir stellen eine Lotgerade auf. Der Normalenvektor von ELot ist der Richtungsvektor von g. A ist der Stützvektor der Gerade.

Daher wissen wir: 

Nun schneiden wir gLot mit E, um L zu erhalten.

 

g mit ELot schneiden:

4·(10+4t) – (-8–1t) + 3·(9+3t) = 23

40+16t + 8+t + 27+9t = 23 ⇒ t = -2

Damit hat der Lotfußpunkt L die Koordinaten: 

  ⇒ L ( 2 | -6 | 3 )

Nun können wir den Spiegelpunkt A* berechnen:

 

 

 

 

V.04.05 | Schöne Dinge an anderen schönen Dingen spiegeln

 

Spiegeln einer Geraden an einem Punkt:

(Die beiden Geraden müssen parallel sein, daher sind die Richtungsvektoren gleich oder Vielfache)

- Man spiegelt den Stützvektor der Geraden am anderen Punkt und erhält der Stützvektor der gespiegelten Gerade.

- Man übernimmt den Richtungsvektor der Gerade und hat somit Stützvektor und Richtungsvektor der Spiegelgerade. Fertig!

 

Spiegeln einer Geraden an einer Geraden:

- Man sucht sich zwei Punkte der Geraden, die gespiegelt werden soll.

(Der eine könnte der Stützvektor sein, den anderen Punkt erhält man, indem man irgendeine Zahl für den Parameter beim Richtungsvektor einsetzt)

- Beide Punkte spiegelt man an der anderen Geraden.

(Zwei komplette Rechnungen durchführen

[Zwei Lotebenen aufstellen, zwei Lotfußpunkte bestimmen, zwei Spiegelpunkte errechnen.] )

- Mit den beiden erhaltenen Spiegelpunkten eine Gerade aufstellen, das ist die gespiegelte Gerade.

 

Spiegeln einer Geraden an einer Ebene:

- Man sucht sich zwei Punkte der Geraden, die gespiegelt werden soll.

(Der eine könnte der Stützvektor sein, den anderen Punkt erhält man, indem man irgendeine Zahl für den Parameter beim Richtungsvektor einsetzt)

- Beide Punkte spiegelt man an der Ebene.

(Zwei komplette Rechnungen durchführen, also zwei Lotgeraden aufstellen, zwei Lotfußpunkte bestimmen, zwei Spiegelpunkte errechnen.] )

- Mit den beiden erhaltenen Spiegelpunkten eine Gerade aufstellen, das ist die gespiegelte Gerade.

 

Spiegeln einer Ebene an einer Ebene:

- Man sucht sich drei Punkte der Ebene, die gespiegelt werden soll.

(Punkte einer Ebene erhält man, indem man die Koordinaten so wählt, das diese beim Einsetzen in die Koordinatengleichung eine wahre Aussage geben)

- Alle drei Punkte spiegelt man an der Ebene.

(Drei komplette Rechnungen durchführen, also drei Lotgeraden aufstellen, drei Lotfußpunkte bestimmen, drei Spiegelpunkte errechnen.] )

- Aus den drei erhaltenen Spiegelpunkten eine Parametergleichung der gesuchten Ebene aufstellen (gegebenenfalls noch in eine Koordinatengleichung umwandeln).

 

 

 

Genug gespiegelt.

 

 

 

 

 

Verwandte Kapitel:
V.04 | Spiegeln

Spiegelung eines Punktes an einem Punkt

Soll ein Punkt P am Punkt S gespiegelt werden, so brauchen wir lediglich den Vektor $\overrightarrow{PS}$. Mit diesem gelangen wir vom Punkt P zum Punkt S. Um in derselben Richtung dieselbe Strecke auf der anderen Seite von S zurückzulegen, gehen wir einfach noch einmal diesen Vektor und landen dann beim gesuchten Punkt P'. Für den Punkt P' gilt also:

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Ortsvektor von P' = Ortsvektor von P + 2mal Verbindungsvektor von P nach S oder mathematisch $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2 \cdot \overrightarrow{PS}$.

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Der Punkt $P(1|1|2)$ soll am Punkt $S(2|5|0)$ gespiegelt werden.

Um die Koordinaten des Bildpunktes P' zu bekommen, bestimmen wir zuerst den Vektor von P zu S:
$\overrightarrow{PS} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 5-1 \\ 0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$
Anschließend berechnen wir den Ortsvektor von P':
$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2 \cdot \overrightarrow{PS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ -2 \end{pmatrix}$
Der gesuchte Bildpunkt hat also die Koordinaten $P'(3|9|-2)$.

Selbstverständlich muss man zur Berechnung der Koordinaten des Bildpunktes nicht unbedingt bei P starten, es gilt ebenso $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{PS}$. Das sieht sogar noch einfacher aus als die oben erklärte Möglichkeit. Warum wir trotzdem den Weg von P aus gehen hat prinzipielle Gründe: Unser Vorgehen hier können wir auf die anderen Spiegelungen dann (beinahe) 1 zu 1 übertragen.

Spiegelung einer Geraden an einem Punkt

Eine Gerade g kann an einem Punkt S gespiegelt werden, indem man zwei Punkte der Geraden am Punkt S spiegelt und anschließend eine Gerade durch die beiden gespiegelten Punkte legt.

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Die Gerade g mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ soll am Punkt $S(2|2|2)$ gespiegelt werden.
Als Punkte von g wählen wir den Aufpunkt $A(1|2|0)$ und einen weiteren Punkt (z.B. für t=1) $B(4|2|2)$. Mit diesen führen wir nun eine Punktspiegelung an S durch:
$\overrightarrow{OA'}= \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{AS} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{OB'}= \overrightarrow{OB} + 2 \cdot \overrightarrow{BS} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
Zuletzt stellen wir die Gerade durch A' und B' auf mit g': $\vec{x}= \overrightarrow{OA'} + t \cdot \overrightarrow{A'B'} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Wir erkennen, dass die ursprüngliche Gerade und die Bildgerade parallel zueinander verlaufen! Im Prinzip reicht uns daher auch hier das Spiegeln von einem Punkt und die Übernahme des Richtungsvektors. Trotzdem wird aus "Sicherheitsgründen" dazu geraten, das obige Verfahren durchzuführen. Zu groß ist sonst die Verwechslungsgefahr mit anderen Spiegelungen.

Spiegelung einer Ebene an einem Punkt

Die Spiegelung einer Ebene in Parameterform an einem Punkt kann identisch zu der einer Geraden durchgeführt werden, allerdings benötigen wir dazu drei Punkte der Ebene.

Wesentlich eleganter und leichter ist es eine Ebene in Normalenform an einem Punkt S zu spiegeln. Da die Bildebene parallel zur Ursprungsebene sein muss können wir den Normalenvektor einfach übernehmen. Lediglich der gegebene Punkt P der Ebene muss an S gespiegelt werden. Anschließend setzt man den Bildpunkt P' an Stelle des Punktes P in die Normalengleichung ein und schon ist man fertig.

Mit dieser Überlegung lassen sich auch Ebenen in Parameter- oder Normalenform ganz einfach an einem Punkt spiegeln: Man spiegelt lediglich einen Punkt der Ebene und übernimmt (bei der Parameterform) die Spannvektoren bzw. den Normalenvektor (Normalenform) der ursprünglichen Ebene.

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